4e leçon

Les charges financières

6 février 2018

Entretien préalable

 

Charles a emprunté 10 000 € sur 5 ans à 5%.

 

 

 

Vous devez lire ce chapitre si vous pensez :

 

         Que Charles va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et c’est tout

 

         Qu’il va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et payer en plus 500 € par an d’intérêt

 

         Qu’il va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et payer en plus 100 € par an d’intérêt

 

         Qu’il va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et payer en plus 500 € au bout de 5 ans

 

        

 

Allons-y maintenant

1. Le financement de l'investissement

 

Les deux principaux modes de financement sont l’autofinancement et l’emprunt

 

 

 

L’emprunt

 

         - Généralement, l’emprunt ne couvre qu’une partie de l’investissement (80% environ)

 

         - Conséquences de l’emprunt

 

                   Au niveau du bilan : il augmente le taux d’endettement de l’entreprise

 

                   Au niveau des charges : il impose une charge nouvelle à payer : l’intérêt.

 

         - L’emprunt est la mise à disposition par une banque d’une somme d’argent, pour un temps déterminé.

 

         - Le taux d’intérêt est le prix de cette mise à disposition. C’est le nombre d’euros à payer pour 1 euro emprunté et pour 1 unité de temps (l’année)

 

         - Le montant total des intérêts est donc fonction de ces deux variables (temps et somme empruntée). Il s’ajoute à la somme remboursée.

 

         - Généralement, le remboursement et le paiement des intérêts sont tous deux échelonnés.

 

         - Ils sont réunis dans un même paiement, appelé selon les cas mensualité ou annuité.

 

         - Généralement, les mensualités ou annuités sont constantes.

 

         - L’intérêt annuel est dégressif : on ne paie que sur la partie de l’emprunt qui reste à rembourser.

 

         - Il en résulte que le remboursement est progressif.

 

2. Détermination d'une annuité d'emprunt

 

Raisonnons en 3 étapes, de complexité croissante.

 

1re étape du raisonnement

 

         Soit une somme de 1000 euros, prêtée à 5% pour 1 an

 

Taux d’intérêt annuel : 5%

 

Somme rendue en euros :

 

1 000 + 5% de 1 000 = 1 000 + 50 = 1 050

 

Expression de la somme rendue en fonction du taux d’intérêt

 

1 000 (1+5% )

 

Généralisation de cette expression avec :

 

         i : taux d’intérêt

 

         E : somme empruntée

 

         S : somme rendue

 

 

 

S = E (1+i)

 

 

 

E = S/(1+1)

 

2e étape du raisonnement

 

Soit la même somme prêtée pour 2 ans et rendue en totalité au bout de 2 ans.

 

Tout se passe comme si :

 

         -au bout d’1 an, le prêteur avait reçu et aussitôt re-prêté :

 

1 050 euros = 1000 (1+5%)

 

         -au bout de 2 ans : ces 1 050 euros lui rapporteront une somme S :

 

                   S = 1 050 + 5% de 1 050

 

                   = 1 050 (1+ 5%)

 

or, 1 050 = 1000 (1+ 5%)

 

donc S = [1000 (1+5%)] (1+5%)

 

=1000 (1+5%)2

 

ou

 

1000 = S / (1 + 5%)2

 

 

 

Généralisation  pour un taux d’intérêt égal à i :

 

         S = 1000 (1+i)2

 

Extrapolation pour un prêt sur3 ans :

 

S = 1000 (1+i)3

 

Et sur 10 ans :

 

S = 1000 (1+i)10

 

 

 

Généralisation avec :

 

         S : somme rendue

 

         i : taux d’intérêt

 

         E : somme empruntée.

 

 

 

S = E (1+i)n

 

 

 

 

E = S /(1+i)n

 

 

                  

 

3e étape du raisonnement

 

Soit un emprunt de 1000 euros sur 2 ans à 5%  mais remboursé par annuités constantes.

 

 

 

Soit A l’annuité.

 

 

 

On sait que :

 

         2A est supérieur à 1000 € car la somme rendue en totalité dépasse la somme empruntée en raison des intérêts.

 

Mais on sait aussi que :

 

         2A est inférieur à 1000 (1+5%)2

 

                               En effet, on a vu que ce montant est la somme rendue quand un emprunt est remboursé en une seule fois.

 

                   Or, on ne paie pas d’intérêts sur une somme déjà remboursée. On doit donc moins si l’on rend une partie de la somme au bout d’un an que si l’on en rend la totalité au bout de 2 ans.

 

 

 

La première année, A rembourse et paie les intérêts pour une partie de S (inconnue), prêtée sur 1 an, et qui est donc :

 

A / (1 + 5%)

 

La deuxième année, A rembourse et paie les intérêts pour l’autre partie de S (inconnue), prêtée sur 2 ans, et qui est donc :

 

A / (1+5%)2

 

Donc, la somme de ces deux parties est égale à  1000 €

 

 

 

1000 euros = [A / (1+5%)]  +  [A / (1+5%)2]

 

= A ´ [1/(1+5%) + 1/ (1+5%)2]

 

= A ´(1/1,1 + 1/1,21)

 

= A´ (0,909 090 + 0,826 446 2)

 

= A ´1,735 536 2

 

Donc A = 1000 ´1/1,735 536 2

 

= 1 000 x 0,576 190 8.

 

 

 

Généralisation pour 2 années :

 

 

 

S = A x [1/(1+i) + 1/(1+i)2]

 

 

 

Généralisation pour n années

 

 

 

S = A [1/(1+i) + 1/(1+i)2...] n fois

 

 

 

ou :

 

A = S ´1 / [(1/(1+i) + 1 / (1+i)2….]

 

 

 

1 / [(1/(1+i) + 1 / (1+i)2….]  est le coefficient d’actualisation

 

 

 

A = S ´ coefficient d’actualisation

 

 

 

 

 

Le coefficient d’actualisation représente l’annuité pour 1 euro emprunté. Il dépend donc de la durée de l’emprunt et de son taux d’intérêt.

 

Des tables d’actualisation nous les donnent directement, pour chaque taux d’intérêt annuel (en ligne) et pour chaque durée d’emprunt(en colonne).

 

 

 

Voici un exemple réduit d’une telle table.

 

3.Détermination de l'intérêt

 

Exemple : 10 000 euros sur 5 ans, à 3%

 

Trouver l’annuité de l’emprunt, l’intérêt total versé, l’intérêt annuel moyen, le remboursement annuel moyen.

 

 

 

pour 1 euro, la table d’actualisation nous donne :

 

A = 0,218 355

 

Annuité : 2 183,55 €

 

Somme totale reçue par le prêteur au bout de 5 ans : 2 183,55 x 5 = 10 917,75 €

 

intérêt total :

 

         10 917,75 – 10 000 = 917,75 €

 

Intérêt / emprunt : 917,75 /10 000 = 9,18 %

 

intérêt moyen annuel :

 

         917,75 / 5 = 183,55 €

 

remboursement annuel moyen :

 

         2 183,55 – 183,55 = 2 000

 

Mais l’intérêt versé varie selon les années : on ne verse des intérêts que sur la partie de l’emprunt qui n’est pas encore remboursée.

 

 

 

On peut ainsi construire un tableau d’amortissement de cet emprunt.

 

 

Tableau d’amortissement de l’emprunt

 

 

 

Année

K.début[1]

Intérêt

Remboursement

K.fin

2018

10000

300

1883,55

8116,45

2019

8116,45

243,4935

1940,0565

6176,3935

2020

6176,3935

185,291805

1998,258195

4178,135305

2021

4178,135305

125,34405915

2058,20594085

2119,92936415

2022

2119,92936415

63,5978809245

2119,9521190755

-0,0227549255

Total

 

917,7272450745

10000,0227549255

 

 

 

 

 

 

Tableau d’amortissement de l’emprunt

 

(chiffres arrondis)

 

 

 

 

 

Année

K.début

Intérêt

Remboursement

K.fin[2]

2018

10000

300

1883,6

8116,5

2019

8116,5

243,5

1940,1

6176,4

2020

6176,4

185,3

1998,3

4178,1

2021

4178,1

125,3

2058,2

2119,9

2022

2119,9

63,6

2120

0

Total

 

917,7

10000

 

 



[1] Capital restant dû en début d’année

[2] Capital restant dû en fin d’année