4e leçon
Les charges financières
6 février 2018
Entretien préalable
Charles a emprunté 10 000 € sur 5 ans à 5%.
Vous devez lire ce chapitre si vous pensez :
Que Charles va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et c’est tout
Qu’il va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et payer en plus 500 € par an d’intérêt
Qu’il va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et payer en plus 100 € par an d’intérêt
Qu’il va rembourser 2 000 € par an pendant 5 ans et payer en plus 500 € au bout de 5 ans
…
Allons-y maintenant
1. Le financement de l'investissement
Les deux principaux modes de financement sont l’autofinancement et l’emprunt
L’emprunt
- Généralement, l’emprunt ne couvre qu’une partie de l’investissement (80% environ)
- Conséquences de l’emprunt
Au niveau du bilan : il augmente le taux d’endettement de l’entreprise
Au niveau des charges : il impose une charge nouvelle à payer : l’intérêt.
- L’emprunt est la mise à disposition par une banque d’une somme d’argent, pour un temps déterminé.
- Le taux d’intérêt est le prix de cette mise à disposition. C’est le nombre d’euros à payer pour 1 euro emprunté et pour 1 unité de temps (l’année)
- Le montant total des intérêts est donc fonction de ces deux variables (temps et somme empruntée). Il s’ajoute à la somme remboursée.
- Généralement, le remboursement et le paiement des intérêts sont tous deux échelonnés.
- Ils sont réunis dans un même paiement, appelé selon les cas mensualité ou annuité.
- Généralement, les mensualités ou annuités sont constantes.
- L’intérêt annuel est dégressif : on ne paie que sur la partie de l’emprunt qui reste à rembourser.
- Il en résulte que le remboursement est progressif.
2. Détermination d'une annuité d'emprunt
Raisonnons en 3 étapes, de complexité croissante.
1re étape du raisonnement
Soit une somme de 1000 euros, prêtée à 5% pour 1 an
Taux d’intérêt annuel : 5%
Somme rendue en euros :
1 000 + 5% de 1 000 = 1 000 + 50 = 1 050
Expression de la somme rendue en fonction du taux d’intérêt
1 000 (1+5% )
Généralisation de cette expression avec :
i : taux d’intérêt
E : somme empruntée
S : somme rendue
S = E (1+i)
E = S/(1+1)
2e étape du raisonnement
Soit la même somme prêtée pour 2 ans et rendue en totalité au bout de 2 ans.
Tout se passe comme si :
-au bout d’1 an, le prêteur avait reçu et aussitôt re-prêté :
1 050 euros = 1000 (1+5%)
-au bout de 2 ans : ces 1 050 euros lui rapporteront une somme S :
S = 1 050 + 5% de 1 050
= 1 050 (1+ 5%)
or, 1 050 = 1000 (1+ 5%)
donc S = [1000 (1+5%)] (1+5%)
=1000 (1+5%)2
ou
1000 = S / (1 + 5%)2
Généralisation pour un taux d’intérêt égal à i :
S = 1000 (1+i)2
Extrapolation pour un prêt sur3 ans :
S = 1000 (1+i)3
Et sur 10 ans :
S = 1000 (1+i)10
Généralisation avec :
S : somme rendue
i : taux d’intérêt
E : somme empruntée.
S = E (1+i)n
E = S /(1+i)n
3e étape du raisonnement
Soit un emprunt de 1000 euros sur 2 ans à 5% mais remboursé par annuités constantes.
Soit A l’annuité.
On sait que :
2A est supérieur à 1000 € car la somme rendue en totalité dépasse la somme empruntée en raison des intérêts.
Mais on sait aussi que :
2A est inférieur à 1000 (1+5%)2
En effet, on a vu que ce montant est la somme rendue quand un emprunt est remboursé en une seule fois.
Or, on ne paie pas d’intérêts sur une somme déjà remboursée. On doit donc moins si l’on rend une partie de la somme au bout d’un an que si l’on en rend la totalité au bout de 2 ans.
La première année, A rembourse et paie les intérêts pour une partie de S (inconnue), prêtée sur 1 an, et qui est donc :
A / (1 + 5%)
La deuxième année, A rembourse et paie les intérêts pour l’autre partie de S (inconnue), prêtée sur 2 ans, et qui est donc :
A / (1+5%)2
Donc, la somme de ces deux parties est égale à 1000 €
1000 euros = [A / (1+5%)] + [A / (1+5%)2]
= A ´ [1/(1+5%) + 1/ (1+5%)2]
= A ´(1/1,1 + 1/1,21)
= A´ (0,909 090 + 0,826 446 2)
= A ´1,735 536 2
Donc A = 1000 ´1/1,735 536 2
= 1 000 x 0,576 190 8.
Généralisation pour 2 années :
S = A x [1/(1+i) + 1/(1+i)2]
Généralisation pour n années
S = A [1/(1+i) + 1/(1+i)2...] n fois
ou :
A = S ´1 / [(1/(1+i) + 1 / (1+i)2….]
1 / [(1/(1+i) + 1 / (1+i)2….] est le coefficient d’actualisation
A = S ´ coefficient d’actualisation
Le coefficient d’actualisation représente l’annuité pour 1 euro emprunté. Il dépend donc de la durée de l’emprunt et de son taux d’intérêt.
Des tables d’actualisation nous les donnent directement, pour chaque taux d’intérêt annuel (en ligne) et pour chaque durée d’emprunt(en colonne).
Voici un exemple réduit d’une telle table.
3.Détermination de l'intérêt
Exemple : 10 000 euros sur 5 ans, à 3%
Trouver l’annuité de l’emprunt, l’intérêt total versé, l’intérêt annuel moyen, le remboursement annuel moyen.
pour 1 euro, la table d’actualisation nous donne :
A = 0,218 355
Annuité : 2 183,55 €
Somme totale reçue par le prêteur au bout de 5 ans : 2 183,55 x 5 = 10 917,75 €
intérêt total :
10 917,75 – 10 000 = 917,75 €
Intérêt / emprunt : 917,75 /10 000 = 9,18 %
intérêt moyen annuel :
917,75 / 5 = 183,55 €
remboursement annuel moyen :
2 183,55 – 183,55 = 2 000
Mais l’intérêt versé varie selon les années : on ne verse des intérêts que sur la partie de l’emprunt qui n’est pas encore remboursée.
On peut ainsi construire un tableau d’amortissement de cet emprunt.
Tableau d’amortissement de l’emprunt
|
Année |
K.début[1] |
Intérêt |
Remboursement |
K.fin |
|
2018 |
10000 |
300 |
1883,55 |
8116,45 |
|
2019 |
8116,45 |
243,4935 |
1940,0565 |
6176,3935 |
|
2020 |
6176,3935 |
185,291805 |
1998,258195 |
4178,135305 |
|
2021 |
4178,135305 |
125,34405915 |
2058,20594085 |
2119,92936415 |
|
2022 |
2119,92936415 |
63,5978809245 |
2119,9521190755 |
-0,0227549255 |
|
Total |
917,7272450745 |
10000,0227549255 |
Tableau d’amortissement de l’emprunt
(chiffres arrondis)
|
Année |
K.début |
Intérêt |
Remboursement |
K.fin[2] |
|
2018 |
10000 |
300 |
1883,6 |
8116,5 |
|
2019 |
8116,5 |
243,5 |
1940,1 |
6176,4 |
|
2020 |
6176,4 |
185,3 |
1998,3 |
4178,1 |
|
2021 |
4178,1 |
125,3 |
2058,2 |
2119,9 |
|
2022 |
2119,9 |
63,6 |
2120 |
0 |
|
Total |
917,7 |
10000 |